Zip Tie Ball (7 / 7 steg)

Steg 7: Färg i "fill" och lära sig om gruppen symmetri

Detta färgämne är mycket speciell eftersom det visar upp gruppen symmetri i formen. En symmetri på en form är ett par olika positioner som ser likadana ut. Du har förmodligen hört talas om spegel symmetri, eftersom ditt ansikte har vänster-höger spegel symmetri, men det är exakt typ vi kommer inte att tänka på här. Vi talar om 3D roterande symmetri. Till exempel har en penna 6-vägs cykliska rotational symmetri. Det finns sex positioner av pennan som ser likadana ut eftersom de är rotationer av varandra (förutsatt att pennan har inga markeringar). Varje figur har exakt en symmetri grupp.

Symmetri gruppen en form är den uppsättning 3D rotationer som ta form från ett givet läge, till alla dem som är symmetrisk till den. För en penna är en rotation runt om längden av pennan genom 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 och 6/6 av ett helt varv. Vi kallar detta den cykliska gruppen på 6 element.

För Zip slips bollen är det mer komplicerat, så vi abstrakt väsentlig information för att beskriva gruppen symmetri i form av fem, färger som jag kallar 1,2,3,4 och 5. Om vi tar färgerna 12345 att vara de som är medsols runt en av cirklar, kan start vid middagstid position (från överallt där vi tittar på formen), vi rotera Zip slips bollen medsols runt det cirklar för att Visa 51234. Igen för att få 45123, och igen 34512, och igen 23451, och sedan igen 12345. Vi har redan upptäckt en undergrupp, och det är den cykliska gruppen på 5 element!

Det finns andra symmetrier som kartan cirklar till cirklar, och de är alla en speciell typ av permutation av de ursprungliga 12345, kallas en jämn permutation. Det är skönt att våra färger är numrerade, eftersom en jämn permutation av 12345, är en som har ett jämnt antal siffror som är i ordning; det vill säga är den större till vänster. Till exempel har 51342 6 siffror i rätt ordning (51,53,54,52,32,42), så det är en jämn permutation. De även permutationerna av 12345 utgör exakt hälften av alla möjliga permutationerna, vilket totalt 120. Därför har våra Zip slips bollen exakt 60 symmetrier!

Här är en bra introduktion till alternerande grupper för matematik studenter.

Låt oss gå tillbaka till där vi roteras runt en cirkel. Efter 5 steg kom vi tillbaka till där vi började på 12345. Eftersom dessa 1/5 cirkulär rotationer som vi tog oss tillbaka till starten efter tillämpas 5 gånger, kallar vi detta ett element (3D-rotation) för beställa 5. Vi kan göra 1/3 cirkulär rotationer runt en triangel att få ett inslag av ordning 3 och 1/2 cirkulär rotationer runt en diamant är av ordning 2. Dessa cirkulär rotationer kan kombineras.

Vad en 1/3 Medsols rotation gör att 12345? Nu måste vi verkligen använda Zip slips bollen. Först bestämma vilka färger som kommer att vara 12345. Jag har valt röd, blå, lila, gul, grönt på bilden. Om vi rotera 1/3 medsols runt triangeln direkt under det, ersätts färgerna 12345 med lila, blå, gul, röd, grön eller 32415. Färgerna inte röra triangeln (2 och 5) har inte ändrat ståndpunkt!

Kolla nu in de 1/2 varv runt diamanter själv! Kan du få 3D rotationer av andra genom att kombinera olika cykliska (cirkulär) rotationer?

En annan Övning: Vad händer med färgerna runt andra cirklar när du roterar runt en cirkel. Till exempel om jag rotera runt kretsen 12345, genom att 51234, vad hände med färgerna på cirkeln 32415?

Inte nöjd? Glöm inte att det studsar!

Jag välkomnar alla korrigeringar och förtydliganden i kommentarerna nedan. Jag är doktorand i matematik, men min kunskap om symmetri grupper är rent fritids.