PyPrintPi på en Raspberry Pi (8 / 23 steg)
Steg 8: Tillnärmning av π med arctan
Nästa metod innebär att använda trigonometriska funktionen arctan för att skapa en oändlig serie som konvergerar till π. Den upptäcktes först av Uno för Sangamagrama, som levde från 1340 till 1425.
Detta steg går in i matematiska detaljer. Du kan hoppa över den om du vill hoppa direkt till algoritmen.
Använda kalkyl har visat att:
ARCTAN(x) = x - (x³/3) + (x⁵/5) - (x⁷/7) + (x⁹/9) - (x¹¹/11)...
Hur kan detta hjälpa oss? Produktionen av arctan i denna formel är också i radianer och radianer definieras som den vinkel du får när du delar en fullständig revolution i 2π segment.
Nästa vi måste hitta ett sätt att relatera arctan formel med π. Tan (x) är förhållandet mellan motsatt sida till intilliggande sidan i en rätt vinklade triangel med vinkeln x, så om vi vill ha detta förhållande vara 1, en trevlig helhet avrunda tal, då båda motsatta och intilliggande sidorna i triangeln måste vara lika långa. Detta är en rätt-metade likbent triangel, så en vinkel är en rät vinkel, och de andra två måste vara lika. Vi vet att alla vinklar i en triangel måste lägga till upp till π radianer (detta är den likvärdig regeln som alla vinklar i en triangel lägga till upp till 180 °), och att en vinkel är π/2 radianer (rätt vinkel). Från detta vi kan räkna ut att de andra två vinklarna måste lägga till upp till π/2 radianer, så alla måste vara π/4 radianer. Så där har vi det, för förhållandet mellan den motsatta och intill sidan av en triangel till en, den rätvinkliga triangeln vinkel måste vara π/4 radianer, med andra ord:
Tan(π/4) = 1
Arctan är omvänd funktion av tan följer härav att:
ARCTAN(1) = π/4
Nu börjar saker att bli lite mer intressant. Vi vet från regeln:
ARCTAN(x) = x - (x³/3) + (x⁵/5) - (x⁷/7) + (x⁹/9) - (x¹¹/11)...
som:
ARCTAN(1) = 1 - (1³/3) + (1⁵/5) - (1⁷/7) + (1⁹/9) - (1¹¹/11)...
Om vi ersätter att in i ekvationen arctan(1) = π/4, får vi
Π/4 = 1 - (1³/3) + (1⁵/5) - (1⁷/7) + (1⁹/9) - (1¹¹/11)
som förenklar att:
Π = 4 - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11)...
Slutligen har vi en formel perfekt för beräkning av π! Allt vi behöver göra nu är att genomföra den i python.