Manuell derivator och integraler (5 / 6 steg)

Steg 5: Fysisk ansökan: krånglande raket

1. försök att integrera en högre ordning polynom. Om du var mycket bekant med historien problem som den accelererande bil, kanske du har känt att du kan rita grafer ft/s vertikalt och sekunder horisontellt för att göra ett diagram som är mycket lätt att hitta området under. En tredje eller fjärde-gradens polynom kommer dock inte att så visuellt enkelt även när du använder denna typ av metod.

2. Tänk dig en raket som startar från grunden och har en kort bränsle sylt, så att dess hastighet i ft/s vid en given tidpunkt ges av v = 6t ^ 2 - 16t + 8 för den första minuten av sin flygning, varefter det träffar en fågel och förvisar alla bränsle horisontellt, medan den enda kraft som verkar på det är allvar; hitta tid där den landar.

3. bedöma problemet. Eftersom varken hastighet eller acceleration är konstant, är det enda sättet att lösa problemet att integrera för funktionen position, hitta ändringen i position för den första minuten och hitta hur länge ett objekt faller fritt från den höjden som krävs för att landa.

4. utföra din strategi. Integrera varje term i polynom separat, vi får h = 2t ^ 3 - 8t ^ 2 + 8 x + C för höjden i fot. Vi sedan in i ändpunkterna, t = 60 och t = 0 till få [2 (60) ^ 3-8 (60) ^ 2 + 8(60)] - [0] = 432000-28800 + 480 = 403680. Efter denna tidpunkt, raket faller med en acceleration av 32 ft/s ^ 2 till jorden. Eftersom accelerationen är konstant, kan vi enkelt integrera en = 32 till v = 32t och sedan h = 16t ^ 2, som vi likställer till maximal höjd att hitta hur länge det spenderar faller. 16T ^ 2 = 403680 -> t = 158,8. Att lägga till 60 sekunder till detta, raket träffar marken 218.8 sekunder efter det barkasser.